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<!DOCTYPE html>

<title>Diffusion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Diffusion</h1>

</header>

</div>

Als Diffusion (<a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a> diffusio, von lateinisch diffundere „ausgießen“, „verstreuen“, „ausbreiten“) bezeichnet man <a href="Stoff_(Chemie)" title="Stoff (Chemie)">Stoff</a>-Transport, der auf ungerichteter <a href="Irrfahrt_(Stochastik)" title="Irrfahrt (Stochastik)">Zufallsbewegung</a> der Teilchen des diffundierenden Stoffes beruht.<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a> Das Ausmaß der Zufallsbewegung der diffundierenden Teilchen ist proportional zu ihrer <a href="Thermische_Energie" title="Thermische Energie">thermischen Energie</a>. Bei den diffundierenden <a href="Species_(Chemie)" class="mw-redirect" title="Species (Chemie)">Species</a> kann es sich unter anderem um <a href="Atom" title="Atom">Atome</a>, <a href="Molek%C3%BCl" title="Molekül">Moleküle</a>, <a href="Ladungstr%C3%A4ger_(Physik)" title="Ladungsträger (Physik)">Ladungsträger</a>, <a href="Leerstelle" title="Leerstelle">Leerstellen</a> in <a href="Kristall" title="Kristall">kristallinen</a> Gittern<a href="#cite_note-2">[2]</a> oder <a href="Freies_Neutron" class="mw-redirect" title="Freies Neutron">freie Neutronen</a><a href="#cite_note-3">[3]</a> handeln. Diffusion tritt in <a href="Gas" title="Gas">Gasen</a>, <a href="Fl%C3%BCssigkeit" title="Flüssigkeit">Flüssigkeiten</a>, <a href="Feststoff" class="mw-redirect" title="Feststoff">Feststoffen</a> und <a href="Plasma_(Physik)" title="Plasma (Physik)">Plasmen</a> auf. Die Eigenschaft eines Materials, die Ausbreitung von gelösten Stoffen durch Diffusion zu ermöglichen, wird als <a href="Diffusivit%C3%A4t" title="Diffusivität">Diffusivität</a> bezeichnet.

Führt die Diffusion in einem <a href="Thermodynamisches_System" title="Thermodynamisches System">thermodynamischen System</a> zu einer Durchmischung, die ohne Energiezufuhr nicht umkehrbar ist, spricht man von <a href="Dissipation" title="Dissipation">Dissipation</a>.

Die Begriffe Diffusion und Diffusivität sind nicht mit der <a href="Diffusit%C3%A4t_(Akustik)" title="Diffusität (Akustik)">Diffusität</a> in der <a href="Akustik" title="Akustik">Akustik</a> zu verwechseln.

Als Transportdiffusion bezeichnet man die allmähliche Bewegung der Teilchen eines <a href="Stoff_(Chemie)" title="Stoff (Chemie)">Stoffs</a> entlang des <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradienten</a> eines <a href="Chemisches_Potential" title="Chemisches Potential">chemischen Potentials</a>,<a href="#cite_note-4">[4]</a><a href="#cite_note-5">[5]</a> häufig z. B. in Richtung eines Konzentrations- oder <a href="Partialdruck" title="Partialdruck">Partialdruckgefälles</a>.<a href="#cite_note-zirkelbach-6">[6]</a>

Transportdiffusion wird von <a href="Str%C3%B6mungsmechanik" title="Strömungsmechanik">Strömungen</a> und <a href="Str%C3%B6mungstransport" class="mw-redirect" title="Strömungstransport">Strömungstransport</a> unterschieden.<a href="#cite_note-7">[7]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funktionsprinzip">Funktionsprinzip</h2></div>

In einem <a href="Abgeschlossenes_System_(Thermodynamik)" class="mw-redirect" title="Abgeschlossenes System (Thermodynamik)">abgeschlossenen System</a> bewirkt Diffusion den Abbau von <a href="Konzentrationsgef%C3%A4lle" title="Konzentrationsgefälle">Konzentrationsunterschieden</a> bis hin zur vollständigen Durchmischung. Die Zeit, die dafür benötigt wird, wächst im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen Raum mit der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-ten Potenz des Abstands. Diffusion ist daher vor allem im Nano- bis Millimeter-Bereich wirksam. Bei größeren Entfernungen dominiert in Flüssigkeiten und Gasen in der Regel der Stofftransport durch Strömung.

In (porösen) Feststoffen ist zu beachten, dass die Diffusion häufig durch andere chemisch-physikalische Vorgänge wie <a href="Absorption_(Chemie)" title="Absorption (Chemie)">Absorption</a>, <a href="Adsorption" title="Adsorption">Adsorption</a>, <a href="Resorption" title="Resorption">Resorption</a> und <a href="Kapillartransport" class="mw-redirect" title="Kapillartransport">Kapillartransport</a> überlagert wird.

Diffusion ist jedoch nicht von der Luftdurchlässigkeit des Materials abhängig. Bei der <a href="Osmose" title="Osmose">Osmose</a> diffundieren kleine Moleküle durch eine geschlossene <a href="Membran_(Trennschicht)" title="Membran (Trennschicht)">Membran</a>, die für größere Moleküle undurchlässig ist. Entscheidend ist die <a href="Diffusivit%C3%A4t" title="Diffusivität">Diffusivität</a> des Materials in Bezug auf den diffundierenden Stoff.

Diffusion kann auf verschiedenen Phänomenen beruhen:

<ul><li>Kollektive Diffusion ist die Diffusion mehrerer <a href="Teilchen" title="Teilchen">Teilchen</a> entlang eines Konzentrationsgradienten, darunter fallen beispielsweise die Fickschen Gesetze.</li>

<li>Bei der Selbstdiffusion werden dagegen einzelne Teilchen betrachtet, deren Verhalten u. a. von der <a href="Einsteinrelation" class="mw-redirect" title="Einsteinrelation">Einsteinrelation</a> beschrieben wird. Der Selbstdiffusionskoeffizient <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{\text{S}}(t)}">

<msub>

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</msub>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\text{S}}(t)}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4667a3313c6c542a6a245479c1c384d31ec2a738.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.719ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{\text{S}}(t)}" loading="lazy"> (Subskript S steht für Selbstdiffusion) ist eine Funktion der Zeit.

<ul><li>Für extrem kurze Zeiten unterhalb der Brownschen Relaxationszeit spricht man vom ballistischem Regime.</li>

<li>Für Zeiten in der Nähe der Brownschen Relaxationszeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{0}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56dad457e274b970f5d98b9dc40bef7f895c7f6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \tau _{0}}" loading="lazy"> herrscht die Kurzzeitdiffusionskonstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{\text{S}}^{\text{k}}=\lim _{t\to \tau _{0}}D_{\text{S}}(t)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

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</msub>

</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\text{S}}^{\text{k}}=\lim _{t\to \tau _{0}}D_{\text{S}}(t)}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37e4419d8ee4179b32b38894e86c84b160dc8582.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.062ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle D_{\text{S}}^{\text{k}}=\lim _{t\to \tau _{0}}D_{\text{S}}(t)}" loading="lazy"> vor.</li>

<li>Demgegenüber dominiert im <a href="Grenzwert_(Funktion)" title="Grenzwert (Funktion)">Limes</a> großer Zeiten die Langzeitdiffusionskonstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{\text{S}}^{\text{l}}=\lim _{t\to \infty }D_{\text{S}}(t)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\text{S}}^{\text{l}}=\lim _{t\to \infty }D_{\text{S}}(t)}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/857ed27e8fb59212b0435dad457a4f59f1cf3161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.155ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle D_{\text{S}}^{\text{l}}=\lim _{t\to \infty }D_{\text{S}}(t)}" loading="lazy">.</li></ul></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Veranschaulichung">Veranschaulichung</h2></div>

Zur Veranschaulichung der Diffusionsbewegung kleiner Teilchen kann ein Tropfen <a href="Tinte" title="Tinte">Tinte</a> in ein Glas mit lauwarmem <a href="Wasser" title="Wasser">Wasser</a> gegeben werden, ohne das Wasser umzurühren oder auf andere Art in Bewegung zu versetzen: Der Farbstoff verteilt sich bis das ganze Wasser gleichmäßig eingefärbt ist. Die Ausbreitung der Tinte im Wasser könnte dabei allerdings auch von konvektiven Strömungen im Glas begünstigt werden, die von Temperatur- und <a href="Dichte" title="Dichte">Dichteunterschieden</a> angetrieben werden.

Um diese Einflüsse zu verringern oder auszuschließen, überschichtet man eine farbige Flüssigkeit mit höherer Dichte vorsichtig mit einer Flüssigkeit mit niedrigerer Dichte, ohne dass es beim Einfüllen zu einer Durchmischung kommt. Dabei können auch sehr <a href="Viskosit%C3%A4t" title="Viskosität">viskose</a> Flüssigkeiten wie Sirup und Honig verwendet werden, um eine Verwirbelung auszuschließen. Dennoch tritt der Farbstoff allmählich von der eingefärbten Flüssigkeit in die andere über, bis eine gleichmäßige Färbung erreicht ist, denn an der Grenzfläche wandern Moleküle aus der einen Flüssigkeit in die andere und umgekehrt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Praktische_Beispiele">Praktische Beispiele</h2></div>

<ul><li>Bei der <a href="Lungenventilation#Lungenatmung_der_Wirbeltiere" title="Lungenventilation">Lungenatmung der Wirbeltiere</a> erfolgt der Gasaustausch zwischen <a href="Lungenbl%C3%A4schen" title="Lungenbläschen">Lungenbläschen</a> und <a href="Blut" title="Blut">Blut</a> durch Diffusion.</li>

<li>Im Winter kann die warme Luft innerhalb von Gebäuden mehr Feuchtigkeit aufnehmen als die kalte Aussenluft. Aufgrund des unterschiedlich hohen Luftfeuchtegehalts von Innen- und Aussenluft ergibt sich ein <a href="Partialdruck" title="Partialdruck">Partialdruckgefälle</a>, das die Wasserdampfdiffusion durch die Aussenwände des Gebäudes antreibt. Der rein diffusive Stofftransport durch poröse Wandbaustoffe ist jedoch gering. Größere Feuchtemengen können durch <a href="Kapillareffekt" title="Kapillareffekt">Kapillarleitung</a> sowie <a href="#Oberflächendiffusion">Oberflächendiffusion</a> in den Kapillar-Poren der Wand abgeführt werden.</li>

<li>In der <a href="Bauphysik" title="Bauphysik">Bauphysik</a> der <a href="Geb%C3%A4udeh%C3%BClle" title="Gebäudehülle">Gebäudehülle</a> muss die <a href="Wasserdampfdiffusion" class="mw-redirect" title="Wasserdampfdiffusion">Wasserdampfdiffusion</a> berücksichtigt werden, um eine <a href="Tauwasser" class="mw-redirect" title="Tauwasser">Tauwasserbildung</a> an Aussenwänden zu vermeiden. Dazu werden <a href="Dampfsperre" class="mw-redirect" title="Dampfsperre">Dampfsperren</a> und <a href="Dampfbremse" title="Dampfbremse">Dampfbremsen</a> mit definiertem <a href="Wasserdampfdiffusionswiderstand" title="Wasserdampfdiffusionswiderstand">Wasserdampfdiffusionswiderstand</a> eingesetzt.</li>

<li><a href="Stahl" title="Stahl">Stahl</a> kann durch Eindiffundieren von <a href="Kohlenstoff" title="Kohlenstoff">Kohlenstoff</a> und <a href="Stickstoff" title="Stickstoff">Stickstoff</a> bei hoher Temperatur <a href="Randschichth%C3%A4rten" class="mw-redirect" title="Randschichthärten">randschichtgehärtet</a> werden oder im ungünstigen Fall <a href="Hochtemperaturkorrosion" title="Hochtemperaturkorrosion">korrodieren</a>.</li>

<li>Die Diffusion spielt in der <a href="Technische_Chemie" title="Technische Chemie">Technischen Chemie</a> eine zentrale Rolle. Häufig tritt sie hier gekoppelt mit <a href="Konvektion" title="Konvektion">Konvektion</a> und <a href="Chemische_Reaktion" title="Chemische Reaktion">chemischen Reaktionen</a> auf. Typische Anwendungen sind Reaktor- und <a href="Katalysator" title="Katalysator">Katalysatordesign</a>. In der chemischen <a href="Verfahrenstechnik" title="Verfahrenstechnik">Verfahrenstechnik</a> erfolgt die selektive Trennung von <a href="Stoffgemisch" class="mw-redirect" title="Stoffgemisch">Stoffgemischen</a> häufig mittels <a href="Molekularsieb" title="Molekularsieb">Molekularsieb</a> oder <a href="Membrantechnik" title="Membrantechnik">Membrantechnik</a>. Beide Verfahren beruhen auf „kinetischer Separation“, wobei die Differenzen der Diffusion der einzelnen Stoffe in Nanoporen eine wesentliche Rolle spielen und sich dadurch Steuerungsmöglichkeiten eröffnen.</li>

<li>Beim <a href="Sintern" title="Sintern">Sintern</a> wachsen die Pulverbestandteile zusammen, indem Moleküle in angrenzende Partikel diffundieren.</li>

<li>Die Diffusion von Ladungsträgern in <a href="Leiter_(Physik)" title="Leiter (Physik)">elektrischen Leitern</a> und <a href="Halbleiter" title="Halbleiter">Halbleitern</a> ergibt einen elektrischen <a href="Diffusionsstrom" title="Diffusionsstrom">Diffusionsstrom</a>. Umgekehrt kann ein elektrischer Stromfluss die allmähliche Diffusion von <a href="Ion" title="Ion">Ionen</a> bewirken. Dies wird als <a href="Elektromigration" title="Elektromigration">Elektromigration</a> bezeichnet.</li>

<li>In Diffusionsöfen werden bei Temperaturen um 1000 °C <a href="Dotierung" title="Dotierung">Dotanden</a> in das <a href="Halbleiter" title="Halbleiter">Halbleitermaterial</a> eingebracht, um dort gezielt die elektrische <a href="Elektrische_Leitf%C3%A4higkeit" title="Elektrische Leitfähigkeit">Leitfähigkeit</a> oder mechanische Eigenschaften für Bauelemente der <a href="Mikrosystemtechnik" title="Mikrosystemtechnik">Mikrosystemtechnik</a> zu beeinflussen.</li>

<li>Bei <a href="Ambipolare_Diffusion" title="Ambipolare Diffusion">ambipolarer Diffusion</a> bewegen sich Elektronen und Ionen gleichgerichtet im <a href="Plasma_(Physik)" title="Plasma (Physik)">Plasma</a>.</li>

<li>In der <a href="Mikrobiologie" title="Mikrobiologie">Mikrobiologie</a> wird Diffusion beim <a href="Agardiffusionstest" title="Agardiffusionstest">Agardiffusionstest</a> genutzt.</li>

<li>Mit der sogenannten diffusion-ordered-spectroscopy (DOSY) kann in Mischungen die translatorische Beweglichkeit einzelner Moleküle gemessen und anhand des Diffusionskoeffizienten das <a href="Molgewicht" class="mw-redirect" title="Molgewicht">Molekülgewicht</a> bestimmt werden.<a href="#cite_note-8">[8]</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Abgrenzung_und_Begriffe">Abgrenzung und Begriffe</h2></div>

Siehe auch: <a href="#Arten_von_Diffusion">#Arten von Diffusion</a>

Je nach <a href="Diffusionsweg" title="Diffusionsweg">Diffusionsweg</a> unterscheidet man im <a href="Festk%C3%B6rper" title="Festkörper">Festkörper</a> zwischen Volumendiffusion (Gitterdiffusion), Korngrenzendiffusion und Grenz- bzw. <a href="#Oberflächendiffusion">Oberflächendiffusion</a>.

Vom Netto-Stofftransport durch Transportdiffusion unterscheidet man Selbstdiffusion und Rotationsdiffusion. Selbstdiffusion umfasst zufällige, <a href="Translation_(Physik)" title="Translation (Physik)">translatorische</a> Molekülbewegung in sich im <a href="Thermodynamisches_Gleichgewicht" title="Thermodynamisches Gleichgewicht">thermodynamischen Gleichgewicht</a> befindlichen, ruhenden <a href="Thermodynamisches_System" title="Thermodynamisches System">Systemen</a>, in denen keine <a href="Gradient" title="Gradient">Gradienten</a> des chemischen Potentials auftreten.<a href="#cite_note-9">[9]</a> Rotationsdiffusion ist ein Prozess, durch den die statistische Gleichgewichtsverteilung der räumlichen Orientierungen von Molekülen oder Teilchen aufrechterhalten oder wiederhergestellt wird.<a href="#cite_note-10">[10]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Transportdiffusion">Transportdiffusion</h3></div>

Fällt ein Gradient des chemischen Potentials mit einem <a href="Konzentrationsgef%C3%A4lle" title="Konzentrationsgefälle">Gefälle</a> der <a href="Konzentration_(Chemie)" title="Konzentration (Chemie)">Konzentration</a> eines Stoffes in einem <a href="Mischphase" title="Mischphase">Gemisch</a> zusammen, führt Diffusion entlang des Konzentrationsgefälles gemäß dem <a href="#Erstes_Ficksches_Gesetz">ersten Fickschen Gesetz</a> zu einem Ausgleich von Konzentrationsunterschieden.

Dann tritt mit der Zeit durch die gleichmäßige Verteilung der beweglichen Teilchen eine vollständige Durchmischung der im Gemisch enthaltenen Stoffe ein.<a href="#cite_note-11">[11]</a> Bei Entmischungsprozessen wie <a href="Entmischung_(Thermodynamik)#Spinodale_Entmischung" title="Entmischung (Thermodynamik)">spinodaler Entmischung</a> findet Diffusion hingegen von Orten geringerer Konzentration zu Orten höherer Konzentration statt, wobei auch hierdurch das für das entmischende System relevante <a href="Thermodynamisches_Potential" title="Thermodynamisches Potential">thermodynamische Potential</a> abnimmt.<a href="#cite_note-12">[12]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Transportdiffusion_und_Konvektion">Transportdiffusion und Konvektion</h3></div>

Im Gegensatz zur ungerichteten Teilchenbewegung bei der Diffusion, wird die Teilchenbewegung in einem strömenden <a href="Fluid" title="Fluid">Fluid</a> in der Physik als <a href="Konvektion" title="Konvektion">Konvektion</a> oder Strömungstransport bezeichnet. Die Teilchen bewegen sich hierbei überwiegend in die gleiche Richtung, so dass auf <a href="Mikroskopisch_und_makroskopisch" title="Mikroskopisch und makroskopisch">makroskopischer</a> Ebene eine gerichtete Teilchenbewegung vorliegt.<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a>

Entsprechend enthalten Transportmodelle neben einem Diffusions-<a href="Term" title="Term">Term</a> typischerweise einen separaten Konvektions-Term, der eine Strömungsgeschwindigkeit enthält.<a href="#cite_note-13">[13]</a>

Während Konvektion typischerweise durch persistente Gradienten des chemischen Potentials aufrechterhalten wird,<a href="#cite_note-14">[14]</a> bauen Diffusionsprozesse Unterschiede des chemischen Potentials ab.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Oberflächendiffusion">Oberflächendiffusion</h3></div>

Auf Oberflächen von Festkörpern kann es zu zweidimensionaler Oberflächendiffusion kommen.<a href="#cite_note-15">[15]</a>

Dabei verlassen einige Moleküle das Gefüge, andere füllen die entstehenden Leerstellen auf. Begünstigend wirkt sich aus, dass an der Oberfläche Leerstellen in großer Menge zur Verfügung stehen und der Konzentrationsunterschied der Atome im <a href="Festk%C3%B6rper" title="Festkörper">Festkörper</a> und außerhalb desselben groß ist. Die Aktivierungsenergie ist entsprechend gering und ermöglicht einen großen Massefluss.

Oberflächendiffusion findet auch an den Porenwänden in porösen Stoffen wie etwa <a href="Mauerziegel" title="Mauerziegel">Mauerziegeln</a> statt.

Bei steigender relativer Luftfeuchte lagern sich vermehrt Wassermoleküle <a href="Sorption" title="Sorption">sorptiv</a> an den Porenwänden der Ziegel an. Ab etwa 60 % relativer Luftfeuchte werden die Wassermoleküle im Sorbatfilm so beweglich, dass sich der Stofftransport durch das poröse Material gegenüber der reinen Dampfdiffusion deutlich erhöht.<a href="#cite_note-zirkelbach-6">[6]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Effusion">Effusion</h3></div>

Transportdiffusion wird im Wesentlichen durch den Impulsaustausch beim Zusammenstoß von Molekülen innerhalb eines Fluids angetrieben.

Dies gilt auch, wenn beispielsweise dampfförmige Wassermoleküle durch größeren Poren von porösen Stoffen wie <a href="Mauerziegel" title="Mauerziegel">Mauerziegeln</a> diffundieren.

In Mikroporen, deren Durchmesser kleiner ist als die mittlere freie Weglänge der Zufallsbewegung der Moleküle, kollidieren die Wassermoleküle jedoch häufiger mit der Porenwand als untereinander. Dieser Vorgang wird als <a href="Effusion_(Physik)" title="Effusion (Physik)">Effusion</a> bezeichnet.<a href="#cite_note-zirkelbach-6">[6]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Einer der Ersten, die systematisch Diffusionsversuche in größerem Umfang durchführten, war <a href="Thomas_Graham_(Chemiker)" title="Thomas Graham (Chemiker)">Thomas Graham</a>. Aus seinen Experimenten zur Diffusion von Gasen leitete er das nach ihm benannte <a href="Grahamsches_Gesetz" class="mw-redirect" title="Grahamsches Gesetz">Grahamsche Gesetz</a> ab:

“It is evident that the diffusiveness of the gases is inversely as some function of their density – apparently the square root of their density.”

</blockquote>

„Es ist offensichtlich, dass die Diffusionsrate der Gase invers zu einer Funktion ihrer Dichte ist – anscheinend zur Quadratwurzel ihrer Dichte.“<a href="#cite_note-Graham_1-16">[16]</a>

</blockquote></div></div>

“The diffusion or spontaneous intermixture of two gases in contact, is effected by an interchange in position of indefinitely minute volumes of the gases, which volumes are not necessarily of equal magnitude, being, in the case of each gas, inversely proportional to the square root of the density of that gas.”

</blockquote>

„Die Diffusion oder spontane Mischung von zwei sich in Kontakt befindenden Gasen wird beeinflusst durch den Austausch der Position von unbestimmt kleinen Volumina der Gase, die nicht unbedingt von gleicher Größenordnung sein müssen und, im Fall jedes Gases, invers proportional zur Quadratwurzel der Dichte des Gases sind.“<a href="#cite_note-Graham_2-17">[17]</a>

</blockquote></div></div>

In Hinblick auf Diffusion in Lösungen konnte Graham zeigen, dass die Diffusionsrate proportional zu Konzentrationsdifferenz und abhängig von der Temperatur ist (schnellere Diffusion bei höheren Temperaturen).<a href="#cite_note-Graham_3-18">[18]</a>

Weiterhin zeigte Graham die Möglichkeit auf, Mischungen von Lösungen oder Gasen mittels Diffusion zu trennen.<a href="#cite_note-Graham_1-16">[16]</a><a href="#cite_note-Graham_3-18">[18]</a>

Thomas Graham hatte die grundlegenden Gesetze der Diffusion noch nicht ermitteln können. Dies gelang nur wenige Jahre später <a href="Adolf_Fick" title="Adolf Fick">Adolf Fick</a>. Er postulierte, dass das gesuchte Gesetz analog zu den Gesetzmäßigkeiten der Wärmeleitung, die <a href="Jean_Baptiste_Joseph_Fourier" class="mw-redirect" title="Jean Baptiste Joseph Fourier">Jean Baptiste Joseph Fourier</a> ermittelt hatte, sein müsse:

„Die Verbreitung eines gelösten Körpers im Lösungsmittel geht, wofern sie ungestört unter dem ausschließlichen Einfluß der Molekularkräfte stattfindet, nach demselben Gesetze vor sich, welches Fourier für die Verbreitung der Wärme in einem Leiter aufgestellt hat, und welches Ohm bereits mit so glänzendem Erfolge auf die Verbreiterung der Elektrizität (wo es freilich bekanntlich nicht streng richtig ist) übertragen hat.“<a href="#cite_note-Fick_1-19">[19]</a>

</blockquote>

</div></div>

Fick führte Experimente durch, deren Ergebnisse die Gültigkeit des später nach ihm benannten Ersten Fickschen Gesetzes belegten. Die Gültigkeit des Zweiten Fickschen Gesetzes konnte er nur aus der Gültigkeit des Ersten herleiten. Der direkte Nachweis scheiterte an seinen begrenzten analytischen und mathematischen Möglichkeiten.

<a href="Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a> gelang es Anfang des 20. Jahrhunderts, die Fickschen Gesetze aus den Gesetzen der Thermodynamik abzuleiten und so der Diffusion ein sicheres theoretisches Fundament zu geben.<a href="#cite_note-Einstein-20">[20]</a> Dabei leitete er auch die <a href="Stokes-Einstein-Gleichung" class="mw-redirect" title="Stokes-Einstein-Gleichung">Stokes-Einstein-Beziehung</a> zur Berechnung des Diffusionskoeffizienten her:

„Der Diffusionskoeffizient der suspendierten Substanz hängt also außer von universellen Konstanten und der absoluten Temperatur nur vom Reibungskoeffizienten der Flüssigkeit und von der Größe der suspendierten Teilchen ab.“

</blockquote>

</div></div>

Einstein zeigte auch, wie man die Bewegung eines einzelnen diffundierenden Teilchens erfassen kann und damit die Brown’sche Molekularbewegung als ein Fluktuationsphänomen verstehen kann. Er berechnete die <a href="Mittlere_quadratische_Verschiebung" title="Mittlere quadratische Verschiebung">mittlere quadratische Verschiebung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/433a4a9a935da109f5bb51d11fb9a2e06a84fec8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.923ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle }" loading="lazy"> eines Teilchens in der Zeit τ für den eindimensionalen Fall zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle =2D\tau }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle =2D\tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ea2a6a0ca16d1fb3362c1ee2b1b8bad94949e22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.311ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle =2D\tau }" loading="lazy">. Kurze Zeit nach Einstein kam Smoluchowski auf einem anderen Weg ebenfalls zu praktisch derselben Beziehung, und daher wird diese Gleichung heute als Einstein-Smoluchowski-Gleichung bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Physikalische_Grundlagen">Physikalische Grundlagen</h2></div>

Die Diffusion bei einer bestimmten konstanten <a href="Temperatur" title="Temperatur">Temperatur</a> erfolgt ohne weitere Energiezufuhr und ist in diesem Sinne passiv; vor allem in der <a href="Biologie" title="Biologie">Biologie</a> wird die Diffusion vom <a href="Membrantransport" title="Membrantransport">aktiven Transport</a> unterschieden.

Theoretisch ist Diffusion ein unendlich lange dauernder Vorgang. Im Rahmen der Messbarkeit kann sie jedoch häufig als in endlicher Zeit abgeschlossen betrachtet werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Thermische_Bewegung">Thermische Bewegung</h3></div>

Die thermische Bewegung, auf der die Diffusion beruht, kann je nach betrachtetem System einen sehr unterschiedlichen Charakter haben. In <a href="Gas" title="Gas">Gasen</a> ist sie geradlinig. unterbrochen von gelegentlichen Stößen. Die schnelle thermische Bewegung von Flüssigkeitsteilchen bewirkt durch häufige Stöße die wesentlich langsamere, unter dem Mikroskop beobachtbare <a href="Brownsche_Bewegung" title="Brownsche Bewegung">Brownsche Bewegung</a> mesoskopischer Objekte.

In <a href="Festk%C3%B6rper" title="Festkörper">Festkörpern</a> erfolgen gelegentliche Ortswechsel, z. B. durch den Platztausch zweier benachbarter Teilchen, oder das „Wandern“ von Leerstellen. Bei <a href="Ladungstr%C3%A4ger_(Physik)" title="Ladungsträger (Physik)">Ladungsträgern</a> (z. B. <a href="Ion" title="Ion">Ionen</a>, <a href="Elektron" title="Elektron">Elektronen</a>, <a href="Defektelektron" title="Defektelektron">Löchern</a>) ist der Wärmebewegung jedoch ein <a href="Driftgeschwindigkeit" title="Driftgeschwindigkeit">Drift</a> durch die elektrostatischen Kräfte überlagert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wahrscheinlichkeit_und_Entropie">Wahrscheinlichkeit und Entropie</h3></div>

Die Bewegungsrichtung eines einzelnen Teilchens ist vollkommen zufällig. Aufgrund der Wechselwirkung mit anderen Teilchen erfolgen ständige Richtungsänderungen. Über einen längeren Zeitraum bzw. über viele Teilchen gemittelt kann sich dennoch ein Transport in eine bestimmte Richtung ergeben, z. B. wenn ein Sprung in eine bestimmte Richtung eine, vielleicht nur geringfügig, größere <a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a> hat. Dies ist der Fall, wenn ein Konzentrationsunterschied (auch <a href="Konzentrationsgradient" class="mw-redirect" title="Konzentrationsgradient">Konzentrationsgradient</a>) vorhanden ist. Es entsteht dann ein Nettofluss an Teilchen, bis sich ein stationärer Zustand, das <a href="Thermodynamisches_Gleichgewicht" title="Thermodynamisches Gleichgewicht">thermodynamische Gleichgewicht</a>, einstellt. Zumeist ist der Gleichgewichtszustand die Gleichverteilung, bei der die Konzentration aller Teilchen an jedem Punkt im Raum gleich hoch ist.

Wahrscheinlichkeit und Diffusion – ein Erklärungsversuch: Angenommen 1000 Teilchen eines Stoffes wären nur in der rechten Hälfte eines Gefäßes, und 10 Teilchen in der linken Hälfte; außerdem bewegt sich jedes Teilchen durch die Brownsche Molekularbewegung eine bestimmte Strecke in eine völlig zufällige Richtung. Dann folgt: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich eines der 1000 Teilchen zufälligerweise von der rechten in die linke Hälfte bewegt ist 100-mal größer als die Wahrscheinlichkeit, dass sich eines der nur 10 Teilchen von links nach rechts bewegt. Also werden nach einer gewissen Zeit mit hoher Wahrscheinlichkeit netto Teilchen von rechts nach links gewandert sein. Sobald die Wahrscheinlichkeit des Wanderns auf beiden Seiten gleich groß ist, sich also rechts und links je 505 Teilchen befinden, wird netto kein Massenfluss mehr stattfinden und die Konzentration bleibt überall (im Rahmen statistischer Schwankungen) gleich groß. Selbstverständlich wandern nach wie vor Teilchen von links nach rechts und umgekehrt; da es aber nun gleich viele Teile sind, lässt sich kein Unterschied in der Konzentration feststellen. Wenn man sich jetzt „rechts“ und „links“ als besonders kleine Teilräume z. B. des Tintenversuches vorstellt und alle diese Teilräume irgendwann alle die gleiche Tintenkonzentration aufweisen, hat sich die Tinte gleichmäßig verteilt.

Systeme, in denen die Teilchen regellos über das ganze Volumen verteilt sind, haben eine höhere <a href="Entropie" title="Entropie">Entropie</a> als geordnetere Systeme, in denen sich die Teilchen bevorzugt in bestimmten Bereichen aufhalten. Diffusion führt damit zu einer Entropieerhöhung. Sie ist nach dem <a href="Zweiter_Hauptsatz_der_Thermodynamik" title="Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik">Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik</a> ein freiwillig ablaufender Prozess, der sich nicht ohne äußere Einwirkung umkehren lässt.

Die größere Entropie bei einer Verteilung über das gesamte Volumen ergibt sich auch aus der größeren Anzahl von Verteilungsmustern (oder Mikrozuständen), die die Teilchen bilden können, wenn sie mehr Platz zur Verfügung haben.<a href="#cite_note-21">[21]</a><a href="#cite_note-22">[22]</a> Die Anzahl der Mikrozustände, die denselben Makrozustand bilden, heißt sein statistisches Gewicht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy">. Damit hat eine großräumige Verteilung auch ein höheres statistisches Gewicht im Vergleich zu einer räumlich konzentrierten Anordnung und ist deshalb auch wahrscheinlicher. Die Entropie (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=k\cdot \ln \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=k\cdot \ln \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/138c10afc90746f5dcaf3f1e23279ae51cb59898.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.493ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S=k\cdot \ln \Omega }" loading="lazy">) eines Makrozustands ist somit ein Maß für dessen Wahrscheinlichkeit.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Analogie_zur_Wärmeleitung_und_Leitung_von_elektrischem_Strom">Analogie zur Wärmeleitung und Leitung von elektrischem Strom</h3></div>

Die Diffusion folgt Gesetzmäßigkeiten, die denen der <a href="W%C3%A4rmeleitung" title="Wärmeleitung">Wärmeleitung</a><a href="#cite_note-Carslaw-23">[23]</a> äquivalent sind. Daher kann man Gleichungen, die den einen Prozess beschreiben, für den anderen übernehmen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Diffusion_gelöster_Teilchen">Diffusion gelöster Teilchen</h3></div>

Bei festgelegtem <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> und festgelegter <a href="Temperatur" title="Temperatur">Temperatur</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist aus dem Blickwinkel der <a href="Thermodynamik" title="Thermodynamik">Thermodynamik</a> der Gradient des <a href="Chemisches_Potential" title="Chemisches Potential">chemischen Potentials</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> die treibende Ursache des Stoffstroms. Der Fluss ergibt sich somit zu:

<msub>

<mrow>

<mfrac>

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</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J=-K\left({\frac {\partial \mu }{\partial x}}\right)_{p,T}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc36ef7f99d68c146845b0a6592cd6ad5f35dc82.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:18.095ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle J=-K\left({\frac {\partial \mu }{\partial x}}\right)_{p,T}}" loading="lazy"></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy">: <a href="Teilchenstromdichte" title="Teilchenstromdichte">Teilchenstromdichte</a> (<a href="Fluss_(Physik)" title="Fluss (Physik)">Fluss</a>) in <a href="Mol" title="Mol">mol</a> · m−2 · s−1</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">: <a href="Chemisches_Potential" title="Chemisches Potential">Chemisches Potential</a> in <a href="Joule" title="Joule">J</a> · mol−1</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">: <a href="L%C3%A4nge_(Physik)" title="Länge (Physik)">Länge</a> in m</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">: ein Koeffizient in mol2 · s · kg−1 · m−3</li></ul>

Für einfache Anwendungsfälle kann anstelle des chemischen Potentials die <a href="Stoffmengenkonzentration" title="Stoffmengenkonzentration">Stoffmengenkonzentration</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> verwendet werden. Diese ist einfacher zugänglich als das chemische Potential eines Stoffes. Für ein ideales Gas ist das chemische Potential gegeben durch

<msup>

</mrow>

</msup>

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<mfrac>

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</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =\mu ^{\circ }+RT\ln \left({\frac {c}{c^{\circ }}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c12d643e6ec6dc54013e1418f71aa602bc481918.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.196ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \mu =\mu ^{\circ }+RT\ln \left({\frac {c}{c^{\circ }}}\right)}" loading="lazy">,</dd></dl>

Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu ^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu ^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0de04bb9fa1b8b57964ac58f68e34277e59eceb6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.456ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu ^{\circ }}" loading="lazy"> das chemische Potential eines sinnvoll zu wählenden <a href="Referenzzustand" title="Referenzzustand">Referenzzustandes</a>, bei dem es sich jedoch nicht um einen durch Vorliegen von <a href="Standardbedingungen" title="Standardbedingungen">Standardbedingungen</a> gekennzeichneten Standard- oder Normzustand handeln muss.<a href="#cite_note-24">[24]</a> Für einen nicht-idealen Stoff müssen zusätzliche Excess-Terme berücksichtigt werden, da Teilchenwechselwirkungen vorliegen (siehe <a href="Chemisches_Potential" title="Chemisches Potential">Chemisches Potential</a>). Hängt die Temperatur nicht explizit vom Ort ab, so gilt:

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</mrow>

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</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial \mu (x,t)}{\partial x}}={\frac {\partial \mu ^{\circ }}{\partial x}}+{\frac {\partial RT\ln(c(x,t)/c^{\circ })}{\partial x}}=RT{\frac {\partial \ln(c(x,t)/c^{\circ })}{\partial x}}={\frac {RTc^{\circ }}{c(x,t)}}{\frac {\partial c(x,t)/c^{\circ }}{\partial x}}={\frac {RT}{c(x,t)}}{\frac {\partial c(x,t)}{\partial x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1667eb428ceddc190edc0916fb5c4de27c038fd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:99.561ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial \mu (x,t)}{\partial x}}={\frac {\partial \mu ^{\circ }}{\partial x}}+{\frac {\partial RT\ln(c(x,t)/c^{\circ })}{\partial x}}=RT{\frac {\partial \ln(c(x,t)/c^{\circ })}{\partial x}}={\frac {RTc^{\circ }}{c(x,t)}}{\frac {\partial c(x,t)/c^{\circ }}{\partial x}}={\frac {RT}{c(x,t)}}{\frac {\partial c(x,t)}{\partial x}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Setzt man dieses in die obige Gleichung ein, erhält man das erste Ficksche Gesetz:

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</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J=-K{\frac {\partial \mu }{\partial x}}=-K{\frac {RT}{c}}{\frac {\partial c}{\partial x}}=-D{\frac {\partial c}{\partial x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a6e122a5d1d82c11fa5d12fdfef512460b986e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:37.007ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle J=-K{\frac {\partial \mu }{\partial x}}=-K{\frac {RT}{c}}{\frac {\partial c}{\partial x}}=-D{\frac {\partial c}{\partial x}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Hierbei wurde der <a href="Diffusionskoeffizient" title="Diffusionskoeffizient">Diffusionskoeffizient</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> eingeführt. Der Zusammenhang der Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> ist

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K={\frac {Dc}{RT}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a17c6fcda2ccee98ea5dd2210dae88d5285e5ca5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.401ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle K={\frac {Dc}{RT}}}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy">: <a href="Diffusionskoeffizient" title="Diffusionskoeffizient">Diffusionskoeffizient</a> in m2 s−1</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy">: <a href="Stoffmengenkonzentration" title="Stoffmengenkonzentration">Stoffmengenkonzentration</a> in mol · m−3</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy">: <a href="Temperatur" title="Temperatur">Temperatur</a> in K</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy">: <a href="Universelle_Gaskonstante" class="mw-redirect" title="Universelle Gaskonstante">Universelle Gaskonstante</a> in J · K−1 · mol−1</li></ul>

Bei sehr geringen Konzentrationen (einzelne Moleküle) ist diese Betrachtung nicht mehr ohne weiteres zulässig, da die klassische Thermodynamik <a href="L%C3%B6sung_(Chemie)" title="Lösung (Chemie)">Lösungen</a> als <a href="Kontinuum_(Physik)" title="Kontinuum (Physik)">Kontinuum</a> betrachtet. Bei hohen Konzentrationen beeinflussen sich die Teilchen gegenseitig, so dass bei anziehender Wechselwirkung der Konzentrationsausgleich langsamer, bei abstoßender schneller erfolgt. Das chemische Potential ist in diesen Fällen nicht mehr logarithmisch von der Konzentration abhängig.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Erstes_Ficksches_Gesetz">Erstes Ficksches Gesetz</h3></div>

Nach dem Ersten <a href="Adolf_Fick" title="Adolf Fick">Fickschen</a> Gesetz ist die <a href="Teilchenstromdichte" title="Teilchenstromdichte">Teilchenstromdichte</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy"> proportional zum <a href="Konzentrationsgradient" class="mw-redirect" title="Konzentrationsgradient">Konzentrationsgradienten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial c/\partial x}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial c/\partial x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45b37c04c3cda94843e2af8984734a1eace3fd10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.135ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \partial c/\partial x}" loading="lazy"> entgegen der Diffusionsrichtung. Die Proportionalitätskonstante (<a href="Transportkoeffizient" title="Transportkoeffizient">Transportkoeffizient</a>) ist der <a href="Diffusionskoeffizient" title="Diffusionskoeffizient">Diffusionskoeffizient</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy">.

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J=-D{\frac {\partial c}{\partial x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/172f8c83d39a7bb481467ded76ea3b2e81422dd3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:11.786ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle J=-D{\frac {\partial c}{\partial x}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Einheiten sind beispielsweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [J]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [J]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50de4527394eeac6ace20edb789515c595c2c73a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.765ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [J]}" loading="lazy"> = mol m−2 s−1, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\partial c/\partial x]}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\partial c/\partial x]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b90485811ae81287050bb8eb1634023b05290f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.429ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [\partial c/\partial x]}" loading="lazy"> = mol·m−4 und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [D]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [D]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c4bcb25d77a0de74082c849178200b8cf1340b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.218ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [D]}" loading="lazy"> = m2 s−1.

Die Teilchenstromdichte macht eine quantitative Aussage über die (im statistischen Mittel) gerichtete Bewegung von Teilchen, d. h. wie viele Teilchen einer Stoffmenge sich pro Zeit durch eine Fläche, die senkrecht zur Diffusionsrichtung liegt, netto bewegen. Die angegebene Gleichung gilt auch für den allgemeinen Fall, dass der Diffusionskoeffizient nicht konstant ist, sondern von der Konzentration abhängt (das ist aber streng genommen nicht mehr die Aussage des Ersten Fickschen Gesetzes).

Als Erweiterung des Fickschen Gesetzes kann die <a href="Nernst-Planck-Gleichung" title="Nernst-Planck-Gleichung">Nernst-Planck-Gleichung</a> angesehen werden.

Messgeräte für die Teilchenstromdichte in Gasen und Flüssigkeiten basieren in der Regel auf der Anwendung des ersten Fickschen Gesetzes. Zwei Sensoren messen dabei die Konzentration des Stoffes an zwei räumlich benachbarten Punkten. Die Differenz der beiden Messwerte dient als Näherungswert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1972b82398bcde8c702783ce01e2c52357de0fa3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \partial c}" loading="lazy"> und der räumliche Abstand ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d448bd2e20cfc4a746bfde395324d8d527ca9e52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.648ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \partial x}" loading="lazy">. Bei bekanntem Diffusionskoeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> kann daraus die Teilchenstromdichte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy"> berechnet werden. Eine beispielhafte Anwendung ist die Messung des <a href="Transepidermaler_Wasserverlust" title="Transepidermaler Wasserverlust">transepidermalen Wasserverlusts</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zweites_Ficksches_Gesetz_(Diffusionsgleichung)">Zweites Ficksches Gesetz (Diffusionsgleichung)</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Kontinuitätsgleichung_und_Differentialgleichung_für_den_eindimensionalen_Fall">Kontinuitätsgleichung und Differentialgleichung für den eindimensionalen Fall</h4></div>

Mit Hilfe der <a href="Kontinuit%C3%A4tsgleichung" title="Kontinuitätsgleichung">Kontinuitätsgleichung</a> (Massenerhaltung)

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=-{\frac {\partial J}{\partial x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75db6c4ace3660193a6ba3575c7b9a3cf55909f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:11.693ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=-{\frac {\partial J}{\partial x}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ergibt sich aus dem Ersten Fickschen Gesetz die Diffusionsgleichung

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial c}{\partial x}}\right),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2a0ef658c18e95a0ce6b3b6e97d1920dccd14c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.994ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial c}{\partial x}}\right),}" loading="lazy"></dd></dl>

für konstante Diffusionskoeffizienten ergibt sich hieraus

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d32cbcb85be05da1036611acdb275b9372094fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:12.722ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Sie stellt eine Beziehung zwischen zeitlichen und örtlichen Konzentrationsunterschieden dar und eignet sich somit zur Darstellung <a href="Instationarit%C3%A4t" title="Instationarität">instationärer</a> Diffusion, im Gegensatz zum 1. Fickschen Gesetz, das einen zeitlich konstanten Diffusionsfluss beschreibt. Es existieren für diese <a href="Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichung</a> zahlreiche <a href="Analysis" title="Analysis">analytische</a> und <a href="Numerik" class="mw-redirect" title="Numerik">numerische</a> Lösungsansätze, die jedoch stark von den <a href="Anfangswertproblem" title="Anfangswertproblem">Anfangs-</a> und <a href="Randwertproblem" title="Randwertproblem">Randbedingungen</a> abhängen.

Mathematisch gesehen ist die Diffusionsgleichung identisch mit der <a href="W%C3%A4rmeleitungsgleichung" title="Wärmeleitungsgleichung">Wärmeleitungsgleichung</a>, ihre mathematischen Eigenschaften und Lösungsansätze werden im dortigen Artikel behandelt.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Differentialgleichung_für_den_dreidimensionalen_Fall">Differentialgleichung für den dreidimensionalen Fall</h4></div>

Der Fall der <a href="3D" title="3D">dreidimensionalen</a> Diffusion lässt sich mit dem Zweiten Fickschen Gesetz in seiner allgemeinsten Form beschreiben:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(D\nabla c\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/548c74fe90fccb17cace3cfaab239ee0eebc575c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.551ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(D\nabla c\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

mit dem <a href="Nabla-Operator" title="Nabla-Operator">Nabla-Operator</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3d0e93b78c50237f9ea83d027e4ebbdaef354b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla }" loading="lazy">. Mathematisch gesehen ist auch diese Diffusionsgleichung identisch mit der (dreidimensionalen) <a href="W%C3%A4rmeleitungsgleichung" title="Wärmeleitungsgleichung">Wärmeleitungsgleichung</a>, ihre mathematischen Eigenschaften und Lösungsansätze werden im dortigen Artikel behandelt. Die Lösung dieser Gleichung ist in der Regel aufwändig und je nach betrachtetem Gebiet nur <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerisch</a> möglich.

Im stationären Fall, d. h. für

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7779256d2475de81f4feed613be546204acdac33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:7.422ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

ergibt sich die <a href="Elliptische_partielle_Differentialgleichung" title="Elliptische partielle Differentialgleichung">elliptische partielle Differentialgleichung</a>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=\nabla \cdot \left(D\nabla c\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d8bff86cffdf14ea0afd6bdb1516fd47d694ca6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.586ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 0=\nabla \cdot \left(D\nabla c\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Wenn nun zusätzlich der Diffusionskoeffizient <a href="Isotrop" class="mw-redirect" title="Isotrop">isotrop</a> ist, erhält man eine <a href="Laplace-Gleichung" title="Laplace-Gleichung">Differentialgleichung vom Laplace-Typ</a>.

Ist neben der Diffusion auch ein gerichteter Transport beteiligt, so wird die Konzentrationsdynamik durch die <a href="Konvektions-Diffusions-Gleichung" title="Konvektions-Diffusions-Gleichung">Konvektions-Diffusions-Gleichung</a> beschrieben.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Arten_von_Diffusion">Arten von Diffusion</h3></div>

Es ist üblich, vier Arten der Diffusion zu unterscheiden.<a href="#cite_note-Li_and_Gregory-25">[25]</a> Die Diffusionskoeffizienten unterscheiden sich bei unterschiedlichen Diffusionsarten, auch wenn gleiche Teilchen unter <a href="Standardbedingung" class="mw-redirect" title="Standardbedingung">Standardbedingungen</a> diffundieren.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Selbstdiffusion">Selbstdiffusion</h4></div>

Wenn in einem Gas, einer reinen Flüssigkeit oder einer Lösung kein makroskopischer Gradient existiert, findet ausschließlich echte Selbstdiffusion (engl.: self diffusion) statt. Selbstdiffusion (oft auch als Intradiffusion bezeichnet) ist der Transport von Teilchen innerhalb derselben Substanz, beispielsweise Wassermoleküle in reinem Wasser oder Natriumionen in einer NaCl-Lösung. Da dieses wegen der schwierigen Unterscheidbarkeit physikalisch und chemisch gleicher Teilchen allenfalls mit großem Aufwand zu beobachten ist, nähert man Selbstdiffusion oft mit <a href="Isotop" title="Isotop">isotopischen</a> <a href="Tracer_(Geowissenschaften)" title="Tracer (Geowissenschaften)">Tracern</a> desselben Stoffes an, beispielsweise 22Na+ für Natriumionen. Dabei geht man davon aus, dass der Gradient, der durch Zugabe des Tracers entsteht, vernachlässigbar klein ist.

Selbstdiffusion ist ein Modell zur Beschreibung der Brownschen Molekularbewegung. Die gemessenen Diffusionskoeffizienten lassen sich über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}=2D}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}=2D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e8a00c6fbbe5be90d95658408b633f209af3bdf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.57ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}=2D}" loading="lazy"> in die mittlere quadratische Verschiebung eines Teilchens pro Zeitspanne umrechnen.<a href="#cite_note-Einstein-20">[20]</a>

Eine besonders geeignete Methode zur Messung von Selbstdiffusionskoeffizienten stellt die <a href="Feldgradienten-NMR" title="Feldgradienten-NMR">Feldgradienten-NMR</a> dar. Hier werden keine isotopischen Tracer benötigt, da physikalisch und chemisch gleiche Teilchen mittels der Kernspin-Präzessionsphase eines im Teilchen befindlichen Atomkerns unterscheidbar werden. Mit dieser <a href="Kernspinresonanzspektroskopie" title="Kernspinresonanzspektroskopie">NMR</a>-Technik können sowohl Selbstdiffusionskoeffizienten in reinen Flüssigkeiten, wie auch in komplexen, fluiden Gemischen sehr präzise ermittelt werden.<a href="#cite_note-NMR-26">[26]</a>

Der Selbstdiffusionskoeffizient des reinen <a href="Eigenschaften_des_Wassers" title="Eigenschaften des Wassers">Wassers</a> wurde äußerst genau gemessen und dient daher häufig als Referenzwert. Er beträgt 2,299·10−9 m²·s−1 bei 25 °C und 1,261·10−9 m²·s−1 bei 4 °C.<a href="#cite_note-wasser-27">[27]</a>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Tracerdiffusion">Tracerdiffusion</h4></div>

Tracerdiffusion ist die Diffusion geringer Konzentrationen eines Stoffes in einer Lösung einer zweiten Substanz. Tracerdiffusion unterscheidet sich von der Selbstdiffusion dahingehend, dass ein markiertes Teilchen eines anderen Stoffes als Tracer benutzt wird, z. B. 42K+ in NaCl-Lösung. Häufig werden <a href="Radioaktivit%C3%A4t" title="Radioaktivität">radioaktiv</a> oder <a href="Fluoreszenz" title="Fluoreszenz">fluoreszenzmarkierte</a> Tracer verwendet, da man diese sehr gut detektieren kann. Bei unendlicher Verdünnung sind die Diffusionskoeffizienten von Selbst- und Tracerdiffusion identisch.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Klassische_Ficksche_Diffusion">Klassische Ficksche Diffusion</h4></div>

Dies bezeichnet die Diffusion entlang eines relativ starken Gradienten. Bei dieser Art der Diffusion ist eine <a href="Approximation" title="Approximation">Approximation</a> des Diffusionskoeffizienten am besten möglich.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Gegendiffusion">Gegendiffusion</h4></div>

Gegendiffusion (engl.: counter diffusion) tritt auf, wenn entgegengesetzte Gradienten vorhanden sind, so dass Teilchen in entgegengesetzte Richtungen diffundieren.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Diffusion_von_Gasen">Diffusion von Gasen</h3></div>

Prinzipiell unterscheidet sich die Diffusion von Teilchen in Gasen hinsichtlich ihrer Gesetzmäßigkeiten nicht von der Diffusion gelöster Teilchen in Flüssigkeiten. Allerdings ist die Geschwindigkeit der Diffusion (bei vergleichbaren Gradienten) hier um <a href="Gr%C3%B6%C3%9Fenordnung" title="Größenordnung">Größenordnungen</a> höher, da auch die Bewegung einzelner Teilchen in Gasen erheblich schneller ist.

Die Diffusion verdünnter Gase in Multikomponentensystemen lässt sich mit dem Modell der <a href="Maxwell-Stefan-Diffusion" title="Maxwell-Stefan-Diffusion">Maxwell-Stefan-Diffusion</a> beschreiben.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Diffusion_in_Festkörpern">Diffusion in Festkörpern</h3></div>

In einem perfekten <a href="Kristallgitter" class="mw-redirect" title="Kristallgitter">Kristallgitter</a> schwingt jedes Gitterteilchen um seinen festen Gitterplatz und kann diesen nicht verlassen. Eine notwendige Voraussetzung für Diffusion in einem kristallinen Festkörper ist daher das Vorliegen von <a href="Gitterfehler" title="Gitterfehler">Gitterfehlstellen</a>. Nur durch diese Bedingung können Platzwechsel von Atomen oder Ionen, und damit ein Stofftransport stattfinden. Es sind verschiedene Mechanismen denkbar:<a href="#cite_note-Watson-28">[28]</a>

<ul><li>Die Teilchen „springen“ in <a href="Leerstelle" title="Leerstelle">Leerstellen</a> des Gitters, sodass sich Leerstellen durch das Gitter bewegen und ein Nettofluss von Teilchen stattfindet. Dieser Mechanismus wurde durch den <a href="Kirkendall-Effekt" title="Kirkendall-Effekt">Kirkendall-Effekt</a> nachgewiesen.</li>

<li><a href="Zwischengitteratom" title="Zwischengitteratom">Kleinere Teilchen</a> bewegen sich durch die Gitterzwischenräume. Er führt im Vergleich zur Diffusion über Leerstellen zu sehr hohen Diffusionskoeffizienten. Auch dieser Mechanismus wurde experimentell nachgewiesen.</li>

<li>Zwei Teilchen tauschen die Plätze oder es finden Ringtausche zwischen mehreren Teilchen statt. Dieser hypothetische Mechanismus konnte experimentell bisher nicht bestätigt werden.</li>

<li>Falls freie Ladungsträger in Halbleitern hinreichend viel Streuung erfahren (z. B. an <a href="Phonon" title="Phonon">Phononen</a>, <a href="Elektron" title="Elektron">Elektronen</a> und <a href="St%C3%B6rstelle" title="Störstelle">Störstellen</a>), propagieren sie ebenfalls diffusiv.</li></ul>

Auch die Diffusion in Kristallen lässt sich durch die Fickschen Gesetze beschreiben. Allerdings können Diffusionskoeffizienten hier von der Raumrichtung abhängen (<a href="Anisotropie" title="Anisotropie">Anisotropie</a>). Die im <a href="Isotropie" title="Isotropie">isotropen</a> Fall <a href="Skalar_(Physik)" class="mw-redirect" title="Skalar (Physik)">skalaren</a> Diffusionskoeffizienten werden dann zu einem <a href="Tensor" title="Tensor">Tensor</a> zweiter Stufe, genannt <a href="Diffusionstensor" class="mw-redirect" title="Diffusionstensor">Diffusionstensor</a>. Deshalb ist der <a href="Diffusionsweg" title="Diffusionsweg">Diffusionsweg</a> eine wichtige Größe zur Beschreibung von Diffusionsvorgängen in Festkörpern.

Im Falle von Anisotropie schreibt sich beispielsweise das erste Ficksche Gesetz wie folgt:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mover>

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {j}}=-{\overline {\overline {D}}}\nabla c\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/52277f7e6b09da4a6841eb5b786892718f00b123.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.485ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {j}}=-{\overline {\overline {D}}}\nabla c\,}" loading="lazy"></dd></dl>

in dem nun

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\overline {D}}}={\begin{bmatrix}D_{x}&D_{xy}&D_{xz}\\D_{yx}&D_{y}&D_{yz}\\D_{zx}&D_{zy}&D_{z}\end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d583e9129c8b70411ae751786f0b726a4514b866.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:25.444ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\overline {D}}}={\begin{bmatrix}D_{x}&D_{xy}&D_{xz}\\D_{yx}&D_{y}&D_{yz}\\D_{zx}&D_{zy}&D_{z}\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

eine 3×3-Matrix ist, die als Diffusions-<a href="Tensor" title="Tensor">Tensor</a> (oder Diffusionsmatrix) bezeichnet wird. Diese Matrix ist <a href="Symmetrische_Matrix" title="Symmetrische Matrix">symmetrisch</a> und hat daher jedoch nur sechs unabhängige Komponenten.

Die Diffusion in nichtkristallinen (<a href="Amorphes_Material" title="Amorphes Material">amorphen</a>) Festkörpern ähnelt in mechanistischer Hinsicht der in Kristallen, wobei allerdings die Unterscheidung zwischen regulären und irregulären Gitterplätzen entfällt. Mathematisch können solche Prozesse gut wie die Diffusion in Flüssigkeiten beschrieben werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fokker-Planck-Gleichung">Fokker-Planck-Gleichung</h3></div>

Eine zusätzliche treibende Größe durch ein vorhandenes Potential führt dazu, dass die Gleichverteilung nicht mehr dem stationären Zustand entspricht. Die Theorie dazu liefert die <a href="Fokker-Planck-Gleichung" title="Fokker-Planck-Gleichung">Fokker-Planck-Gleichung</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sonderfall:_Anomale_Diffusion">Sonderfall: Anomale Diffusion</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Anomale_Diffusion" title="Anomale Diffusion">Anomale Diffusion</a></div>

Bei den vorstehend beschriebenen Diffusionsprozessen, die durch die Ficksche Diffusionsgleichung beschrieben werden können, steigt die mittlere quadratische Auslenkung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \Delta x^{2}\rangle (t)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \Delta x^{2}\rangle (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94685e1f181025889bbafc31556692eadd9ecf0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.778ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle \Delta x^{2}\rangle (t)}" loading="lazy"> der diffundierenden Teilchen (also der mittlere Abstand der Teilchen zu ihrem Startpunkt nach der Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy">) proportional zur Zeit an:

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \Delta x^{2}\rangle (t)\propto t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/053f3ca6ea74d9519a1fef0a73ea1545358c5083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.716ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle \Delta x^{2}\rangle (t)\propto t}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Gesetzmäßigkeit folgt aus der Theorie der Brown’schen Molekularbewegung. In <a href="Zelle_(Biologie)" title="Zelle (Biologie)">Zellen</a> können aber auch andere Gesetzmäßigkeiten beobachtet werden, beispielsweise bei der Bewegung von Makromolekülen durch das <a href="Cytoplasma" title="Cytoplasma">Cytoplasma</a> der Zelle. Dieses mit <a href="Organell" title="Organell">Organellen</a> und (Makro)molekülen dicht besetzte Medium führt zu einer gebremsten Diffusionsbewegung, die einem Potenzgesetz folgt. Es gilt dann:

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \Delta x^{2}\rangle (t)\propto t^{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b46033b23dbf53ba9253db2e47f44275352367e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle \Delta x^{2}\rangle (t)\propto t^{\alpha }}" loading="lazy"></dd></dl>

Für diese gebremste Bewegung, die Subdiffusion genannt wird, gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<\alpha <1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<\alpha <1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43eb26b3586c8f17272d05089e2ce832c274dea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.009ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0<\alpha <1}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-29">[29]</a> Es existieren auch Diffusionsprozesse, bei denen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha >1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha >1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17d81dbbc4786493c7b8548cc324a978d7cf5dbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha >1}" loading="lazy"> ist, die also beschleunigt sind. Diese werden als Superdiffusion bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sonderfall:_Erleichterte_Diffusion_(Biologie)">Sonderfall: Erleichterte Diffusion (Biologie)</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Membrantransport" title="Membrantransport">Membrantransport</a></div>

Die erleichterte Diffusion oder <a href="Permeabilit%C3%A4t_(Materie)" title="Permeabilität (Materie)">Permeabilität</a> beschreibt in der Biologie die Möglichkeit für bestimmte Stoffe, eine <a href="Biomembran" title="Biomembran">Biomembran</a> leichter zu durchdringen, als dies eigentlich aufgrund ihrer Größe, Ladung, Polarität etc. möglich wäre. Bestimmte Proteine, sogenannte Tunnelproteine, bilden einen Tunnel durch die Zellmembran, der durch seinen Durchmesser und/oder seine Ladungsverteilung bestimmte Stoffe leichter passieren lässt als durch die „geschlossene“ Membran (etwa <a href="Ionenkanal" title="Ionenkanal">Ionenkanäle</a>).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Peter_W._Atkins" class="mw-redirect" title="Peter W. Atkins">Peter W. Atkins</a>, Charles A. Trapp: Physikalische Chemie. 3., korrigierte Auflage. Wiley-VCH, Weinheim u. a. 2001, ISBN 3-527-30236-0.</li>

<li>H. Klopfer: Wassertransport durch Diffusion in Feststoffen. Bauverlag, Wiesbaden 1974 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://trid.trb.org/view/1070442">Abstract</a>).</li>

<li>E. L. Cussler: Diffusion. Mass Transfer in Fluid Systems. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1997, ISBN 0-521-56477-8.</li>

<li>J. Crank: The Mathematics of Diffusion. 2., verb. Auflage. Oxford University Press, Oxford u. a. 1980, ISBN 0-19-853411-6.</li>

<li><a href="Paul_Heitjans" title="Paul Heitjans">Paul Heitjans</a>, <a href="J%C3%B6rg_K%C3%A4rger" title="Jörg Kärger">Jörg Kärger</a> (Hrsg.): Diffusion in Condensed Matter. Methods, Materials, Models. Greatly enlarged and completely revised edition. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-20043-6.</li>

<li>Jörg Kärger (Hrsg.): Leipzig, Einstein, Diffusion. Leipziger Universitätsverlag, Leipzig 2007, ISBN 978-3-86583-176-7. (3. Auflage 2014)</li>

<li><a href="Wilhelm_Jost_(Physikochemiker)" title="Wilhelm Jost (Physikochemiker)">Wilhelm Jost</a>: Diffusion in solids, liquids, gases (= Physical chemistry. Band 1). 6. Druck. Academic Press, New York NY 1970.</li>

<li>H. J. V. Tyrrell, K. R. Harris: Diffusion in Liquids. A theoretical and experimental Study. Butterworth, London 1984, ISBN 0-408-17591-5.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Diffusion?uselang=de">Commons: Diffusion</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Diffusion" class="extiw external" title="wikt:Diffusion">Wiktionary: Diffusion</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_6/backbone/r6_2_2.html">Die Fickschen Diffusionsgesetze.</a> H. Föll, Technische Fakultät der <a href="Christian-Albrechts-Universit%C3%A4t_zu_Kiel" title="Christian-Albrechts-Universität zu Kiel">Christian-Albrechts-Universität zu Kiel</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ifw-dresden.de/institutes/imw/lectures/pwe/pwe-default-page/c8-diff1.pdf">Diffusion in Physikalische Werkstoffeigenschaften.</a> (PDF; 160 kB) beim <a href="Leibniz-Institut_f%C3%BCr_Festk%C3%B6rper-_und_Werkstoffforschung" title="Leibniz-Institut für Festkörper- und Werkstoffforschung">Leibniz-Institut für Festkörper- und Werkstoffforschung</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.roentzsch.org/SurfDiff/index.html">3D-Gitter-Monte-Carlo-Simulation der Diffusion auf einer vizinal geschnittenen kfz-(100)-Oberfläche</a> von Lars Röntzsch</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://koj.kftg.ch/Java/Diffusion.html">NetLogo-Simulationsmodell für den Unterricht</a> (Java-Applet) von Johannes Kottonau</li>

<li>Video: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://av.tib.eu/media/15654">Diffusion und Ficksche Gesetze – wie schnell geht Stofftransport ohne Strömung?</a>. Jakob Günter Lauth (SciFox) 2013, zur Verfügung gestellt von der <a href="Technische_Informationsbibliothek" class="mw-redirect" title="Technische Informationsbibliothek">Technischen Informationsbibliothek</a> (TIB), <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.5446/15654">10.5446/15654</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-:0-1">↑ <a href="#cite_ref-:0_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-:0_1-1">b</a> Jean-Laurent Peube: <cite style="font-style:italic">Fundamentals of fluid mechanics and transport phenomena</cite> (= <cite style="font-style:italic">ISTE</cite>). ISTE, London 2009, ISBN 978-1-84821-065-3, 2.4.1.2. Microscopic interpretation of diffusion, S. 74 f.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Diffusion&rft.atitle=2.4.1.2.+Microscopic+interpretation+of+diffusion&rft.au=Jean-Laurent+Peube&rft.btitle=Fundamentals+of+fluid+mechanics+and+transport+phenomena&rft.date=2009&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9781848210653&rft.pages=74+f.&rft.place=London&rft.pub=ISTE&rft.series=ISTE" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> F. D. Fischer, J. Svoboda: <cite style="font-style:italic">Diffusion of elements and vacancies in multi-component systems</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Progress in Materials Science</cite>. Band 60, März 2014, S. 338–367, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/j.pmatsci.2013.09.001">10.1016/j.pmatsci.2013.09.001</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0079642513000686">elsevier.com</a> [abgerufen am 11. April 2025]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Diffusion&rft.atitle=Diffusion+of+elements+and+vacancies+in+multi-component+systems&rft.au=F.+D.+Fischer%2C+J.+Svoboda&rft.btitle=Progress+in+Materials+Science&rft.date=2014-03&rft.doi=10.1016%2Fj.pmatsci.2013.09.001&rft.genre=book&rft.pages=338-367&rft.volume=60" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> siehe z. B.: K. H. Beckurts, K. Wirtz: Neutron Physics. Springer 1964, ISBN 978-3-642-87616-5.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Peter Stephan, Karlheinz Schaber, Karl Stephan, Franz Mayinger: <cite style="font-style:italic">Thermodynamik – Grundlagen und technische Anwendungen</cite>. Band 2: Mehrstoffsysteme und chemische Reaktionen. Springer, Berlin / Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-54438-9, 5.1.3 Eigenschaften des chemischen Potentials, S. 95, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-54439-6">10.1007/978-3-662-54439-6</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://link.springer.com/10.1007/978-3-662-54439-6">springer.com</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Diffusion&rft.atitle=5.1.3+Eigenschaften+des+chemischen+Potentials&rft.au=Peter+Stephan%2C+Karlheinz+Schaber%2C+Karl+Stephan%2C+...&rft.btitle=Thermodynamik+-+Grundlagen+und+technische+Anwendungen&rft.date=2017&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-54439-6&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783662544389&rft.pages=95&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg&rft.pub=Springer&rft.volume=Band+2%3A+Mehrstoffsysteme+und+chemische+Reaktionen" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Sebastian Seiffert, Wolfgang Schärtl: <cite style="font-style:italic">Physikalische Chemie kapieren: Thermodynamik, Kinetik, Elektrochemie</cite> (= <cite style="font-style:italic">De Gruyter Studium</cite>). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. De Gruyter Oldenbourg, Berlin Boston 2024, ISBN 978-3-11-107248-7, 2.8 Chemisches Potenzial, S. 159.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Diffusion&rft.atitle=2.8+Chemisches+Potenzial&rft.au=Sebastian+Seiffert%2C+Wolfgang+Sch%C3%A4rtl&rft.btitle=Physikalische+Chemie+kapieren%3A+Thermodynamik%2C+Kinetik%2C+Elektrochemie&rft.date=2024&rft.edition=2.+%C3%BCberarbeitete+und+erweiterte+Auflage&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783111072487&rft.pages=159&rft.place=Berlin+Boston&rft.pub=De+Gruyter+Oldenbourg&rft.series=De+Gruyter+Studium" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-zirkelbach-6">↑ <a href="#cite_ref-zirkelbach_6-0">a</a> <a href="#cite_ref-zirkelbach_6-1">b</a> <a href="#cite_ref-zirkelbach_6-2">c</a> Daniel Zirkelbach: Austrocknungsverhalten hochdämmender Mauersteine (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ibp.fraunhofer.de/content/dam/ibp/ibp-neu/de/dokumente/publikationen/ht/diplomarbeit-zirkelbach-austrocknungsverhalten-hochdaemmender-mauersteine.pdf">PDF</a>), Diplomarbeit TU München, Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen, Lehrstuhl für Baukonstruktion; Fraunhofer-Institut für Bauphysik, Holzkirchen, Juni 2001.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> D.C.F. Muir: <cite style="font-style:italic">Bulk flow and diffusion in the airways of the lung</cite>. In: <cite style="font-style:italic">British Journal of Diseases of the Chest</cite>. Band 60, Nr. 4, Oktober 1966, S. 169–176, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/S0007-0971%2866%2980044-X">10.1016/S0007-0971(66)80044-X</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S000709716680044X">elsevier.com</a> [abgerufen am 11. April 2025]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Diffusion&rft.atitle=Bulk+flow+and+diffusion+in+the+airways+of+the+lung&rft.au=D.C.F.+Muir&rft.date=1966-10&rft.doi=10.1016%2FS0007-0971%2866%2980044-X&rft.genre=journal&rft.issue=4&rft.jtitle=British+Journal+of+Diseases+of+the+Chest&rft.pages=169-176&rft.volume=60" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> R. Neufeld, D. Stalke: <cite style="font-style:italic">Accurate Molecular Weight Determination of Small Molecules via DOSY-NMR by Using External Calibration Curves with Normalized Diffusion Coefficients</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Chem. Sci.</cite> Nr. 6, 2015, S. 3354–3364, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1039/C5SC00670H">10.1039/C5SC00670H</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Diffusion&rft.atitle=Accurate+Molecular+Weight+Determination+of+Small+Molecules+via+DOSY-NMR+by+Using+External+Calibration+Curves+with+Normalized+Diffusion+Coefficients&rft.au=R.+Neufeld%2C+D.+Stalke&rft.date=2015&rft.doi=10.1039%2FC5SC00670H&rft.genre=journal&rft.issue=6&rft.jtitle=Chem.+Sci.&rft.pages=3354-3364" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Eintrag zu self-diffusion coefficient. In: <a href="International_Union_of_Pure_and_Applied_Chemistry" title="International Union of Pure and Applied Chemistry">IUPAC</a> (Hrsg.): <a href="Compendium_of_Chemical_Terminology" title="Compendium of Chemical Terminology">Compendium of Chemical Terminology</a>. The “Gold Book”. <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1351/goldbook.S05582">10.1351/goldbook.S05582</a> – Version: 5.0.0.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Eintrag zu rotational diffusion. In: <a href="International_Union_of_Pure_and_Applied_Chemistry" title="International Union of Pure and Applied Chemistry">IUPAC</a> (Hrsg.): <a href="Compendium_of_Chemical_Terminology" title="Compendium of Chemical Terminology">Compendium of Chemical Terminology</a>. The “Gold Book”. <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1351/goldbook.R05410">10.1351/goldbook.R05410</a> – Version: 5.0.0.

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Römpps chemisches Wörterbuch. Franckhsche Verlagsbuchhandlung 1969 und Arnold Arni: Verständliche Chemie. Wiley-VCH 1998, ISBN 3-527-29542-9, S. 224.

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4012277-3">4012277-3</a> | <a href="Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85037936">sh85037936</a> </div>

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